为什么Laplace变换（LT）的积分区间是$0-$到$+\infty$

连续时域的系统分析需要确定$0+$状态（初始状态）的值，某些时候需要通过$0-$状态（起始状态）的值，结合具体电路推断初始状态值；但是Laplace变换为什么可以跳过求解初始状态这一阶段，直接将起始状态和所求状态联系起来呢？

我学复变函数的时候，也接触过FT,LT的相关性质，当时LT的微分性质中可不是写的$0-$，而是直接写的$0$。为什么到信号系统分析里面就不一样了？

信号与系统教案：

复变函数教材：

一个误区

首先在想到这个问题的时候，我是默认数学教材的叙述会更加严密，更加理论化，适用范围也更加广泛，但实际并非如此。

数学书上可能仅仅只是描述了函数在$0$处连续的情况（默认时域连续），而信号分析里面显然会有很多不连续的情况，所以我不能以一本工科数学的“工具书”为准，不能把它的叙述奉为圭臬，而应该从LT本身出发来看为什么会出现这种情况。

一种改进

LT是一种改进版的FT，他们都是对信号进行投影（或言分解，或言基变换）。LT的改进之处在于：

从代数的角度来看，FT的局限在于很难让一些常见的信号满足绝对可积条件（但是我们没办法，又要用这些信号），故乘以一个指数衰减因子$e^{-\sigma t}$，尽量使信号在$\pm\infty$能够趋向$0$ ，从而绝对可积；

从信号的角度来看，FT的局限在于，只能把信号分解到幅度恒定不变的基（三角函数）上面，但是幅值恒定意味着这只能表述无阻尼系统（或者是有阻尼系统的伯德图？听说过但是没学过，反正意思就是能表述的情况比较理想，比较局限）。把$j \omega t$扩展为$(\sigma+j \omega) t$意味着可以分解信号至幅度和频率都变化的基上，泛用性更强。

少考虑一点，再多考虑“一点”

FT的积分区间是双边无穷，这是毫无疑问的，在哪儿都是。所以按理说LT改进FT，只是改进了上述的问题，并不影响积分区间.但为什么LT的积分区间被砍掉了只剩正半轴了呢？

一个很重要的原因是：在$t<0$ 时，衰减因子$e^{-\sigma t}$不仅不会限制信号，反而会变为增长因子。尽管存在双边LT，但是在更普遍的单边LT中，$t<0$ 的积分区域被去除了。

但这并不意味着我们宁可为了使$e^{-\sigma t}$ 变为衰减因子，也要删掉负半轴的积分区间，损失这部分信号。这是因为存在一个客观的巧合。几乎介绍LT的书上都会说这样一句话：

“考虑到在实际问题中遇到的总是因果信号，令信号起始时刻为$0$……”

这是一种简化。$t<0$的时候衰减因子$e^{-\sigma t}$“叛变”，但由于没信号（有信号的话我们也可以人为设定零点），我们才可以恰巧规定积分区间为$0$ 到$+\infty$ ，而不会漏掉信号。

在实际分析信号的时候，$0-$到$0+$的跳变是不可以忽略，故我们就“勉为其难”地把积分区间变宽一点，把“不规矩”的那部分$0-$到$0+$的跳变考虑进去就行。我们的目的是在衰减因子$e^{-\sigma t}$有效的情况下，把所有信息都囊括进去。

假如此信号在$t<5$的时候都没有幅度，也可以把LT的积分区间变成$5-$到$+\infty$。

这也能解释为什么分析实际的电路模型在有跳变的情况下能够使用$0-$和$0+$两种模型进行分析，而仅仅只有微分方程的模型却不可以。

在实际电路里面，看似使用$0+$状态分析少考虑了$0-$到$0+$的跳变，实则不然；电路元件的性质代替了LT里这个跳变的计算。我们没有在LT里面囊括这个跳变，却在电路元件的特殊性质里面考虑到了，具体体现为电容电压和电感电流的连续性（不可突变）。通过电容电感的特殊性质，我们能把$0-$状态的情况转移到$0+$状态，这能使我们更加专注于$0$之后的信号，尽管牺牲了一些计算上的便捷。

而在微分方程表述的电路中，没有具体的场景供我们使用换路定则，若仅得知$0-$状态的情况是无法推断$0+$状态的情况的。

我们在LT里面少考虑了“一点”，却在电路里面多考虑了一点。